By Robert Sauer

ISBN-10: 364252799X

ISBN-13: 9783642527999

ISBN-10: 3642528007

ISBN-13: 9783642528002

Das vorliegende Buch handelt von partiellen Differentialgleichungen, d. h. von Differentialgleichungen mit zwei oder mehr als zwei unabhangi gen Veranderlichen. Urn eine bestimmte Losung einer partiellen Differen tialgleichung festzulegen, muB guy noch gewisse zusatzliche Daten vor schreiben. Je nach der artwork dieser zusatzlichen Daten spricht guy in gewissen Fallen von Anfangswertproblemen und in anderen Fallen von Randwertproblemen oder von Anfangs-Randwert-Problemen. Ein An fangswertproblem laBt sich z. B. fur die Wellengleichung I x x - I y y = zero stellen (vgl. 2); eine Losung I (x, y) dieser Gleichung liegt etwa in der oberen x, y-Halbebene eindeutig fest, wenn auf der x-Achse als Anfangskurve die Werte von lund der erst en partiellen Ableitung Iy (Anfangswerte) bekannt sind. Ein Randwertproblem kann z. B. fUr die Potentialgleichung Ixx + Ivy = zero gestellt werden (vgl. 1); hier liegt eine Losung I (x, y) etwa im Innern eines Kreises eindeutig fest, wenn guy die Werte von I auf dem Kreis (Randwerte) kennt. Als Bei spiel eines Anfangs-Randwert-Problems sei folgende Aufgabe genannt: Gesucht ist die Losung der Wellengleichung fUr einen in der oberen x, y-Halbebene gelegenen Halbstreifen, der von einer Strecke der x-Achse und zwei zur y-Achse parallelen Halbgeraden begrenzt wird; auf der Strecke der x-Achse sind die Werte von lund Iy (Anfangswerte) vorgegebi)ll, auf den beiden Halbgeraden die Werte von I allein (Rand werte). Anfangs-und Randwertprobleme konnen nicht nach Belieben gestellt werden, sondern fUr gewisse Differentialgleichungen sind nur Anfangswertprobleme, fUr andere nur Randwertprobleme "sachgemaB" .

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Example text

15 schraffiert) wird von den beiden Abb. 15. Grundcharakteristiken durch P und Q begrenzt, ist also identisch mit dem zu PQ gehörigen Bestimmtheitsbereich. Die Charakteristiken erscheinen demnach als Verzweigungslinien von Lösungen. Längs einer Charakteristik können sich Unstetigkeiten zweiter und höherer Ableitungen der Lösung I (x, y) ausbreiten (Berührlinien von Integralflächen). Aber auch Schnittlinien verschiedener Integralflächen sind, wie aus Ziff. 3 folgt, Charakteristiken. 5. Erläuterungen der Alternative an Differenzengleichungen.

3) für die Differentialgleichung (U). Man erhält auf diese Weise Nlineare Gleichungen für die N gesuchten Funktionswerte in den Innenpunkten. Es muß nun gezeigt werden, daß dieses lineare Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt, daß also die vorliegende Randwertaufgabe ebenso wie das DIRICHLETsche Randwertproblem der Potentialgleichung (§ 1) sachgemäß ist. lv auch den quadratischen Differenzenausdruck erster Ordnung E[f, f] = I; + I~ und bilden die Summe / / -<, / / / / / / / / / / ~ h2 I Gk E[f,f) über alle Gitterpunkte; dabei werden Differenzen zwischen den Werten I in einem Randpunkt des Gitters und einem dem Gitter nicht mehr angehörenden Nachbarpunkt jeweils durch Null ersetzt.

2) 1 Vgl. z. B. R. SAUER: Einführung in die theoretische Gasdynamik, 2. Aufl. Berlin: Springer 1951. § 6. HyperbolischeDifferentialgleichungen in der Gasdynamik undAkustik. 27 eine Größe a, die wir alsbald als Schallgeschwindigkeit (= Ausbreitungsgeschwindigkeit einer kleinen Störung) erkennen werden. Der Satz von der Erhaltung des Impulses liefert die Bewegungsgleichung db -dt = Ot + U Oa; + v Oy + W Oz = - a2 1 -(! gradp = - -(! 3) und der Satz von der Erhaltung der Masse die Kontinuitätsgleichung Qt + div(QtJ) = O.

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Anfangswertprobleme bei Partiellen Differentialgleichungen by Robert Sauer


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