By Otto Forster

ISBN-10: 3528272317

ISBN-13: 9783528272319

ISBN-10: 366314173X

ISBN-13: 9783663141730

Der vorliegende Band stellt den zweiten Teil eines Analysis-Kurses für Studenten der Mathematik und Physik dar. Das erste Kapitel befaßt sich mit der Differentialrechnung von Funktionen mehrerer reeller Veränderlichen. Nach einer Einführung in die topalogischen Grundbegriffe werden Kurven im IRn, partielle Ableitungen, totale Differenzierbarkeit, Taylorsche Formel, Maxima und Minima, implizite Funktionen und parameterabhängige Integrale behandelt. Das zweite Kapitel gibt eine kurze Einführung in die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Nach dem Beweis des allgemeinen Existenz- und Eindeutigkeitssatzes und der Besprechung der Methode der Trennung der Variablen wird besonders auf die Theorie der linearen Differentialgleichungen eingegangen. Wie im ersten Band wurde versucht, allzu große Abstraktionen zu vermeiden und die allgemeine Theorie durch viele konkrete Beispiele zu erläutern, insbesondere solche, die für die Physik appropriate sind. Bei der Bemessung des Stoffumfangs wurde berücksichtigt, daß die research 2 meist in einem Sommersemester gelesen wird, in dem weniger Zeit zur Verfugung steht als in einem Wintersemester. Wegen der Kürze des Sommersemesters ist nach meiner Meinung eine befriedigende Behandlung der mehrdimensionalen Integration im 2. Semester nicht möglich, die besser dem three. Semester vorbehalten bleibt. Dies Buch ist entstanden aus der Ausarbeitung einer Vorlesung, die ich im Sommer­ semester 1971 an der Universität Regensburg gehalten habe. Die damalige Vor­ lesungs-Ausarbeitung wurde von Herrn R. Schimpl angefertigt, dem ich hierfür meinen Dank sage.

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Xn 2n )t X1 · ... · Xn a (r 2 a X1 r2n + 2 r 2n X1 r n Die partielle Ableitung in i-ter Koordinatenrichtung ergibt sich daraus durch Vertauschung der Rollen von x 1 und xi, da F völlig symmetrisch von x 1, ... , Xn abhängt. Die Funktion F ist aber auch an der Stelle x = 0 partiell differenzierbar mit aF (0) axi - = lim F(he·) - F(O) I h-+0 h =0 , da F(hei) = 0 für alle h E IR. Daraus folgt, daß F auf ganz IRn partiell differenzierbar ist. F ist aber im Nullpunkt nicht stetig. Betrachten wir etwa die Werte von F auf der Punktfolge ak=(~·····i).

A, b] stetig und bijektiv ist, tritt genau einer der folgenden beiden Fälle auf: 1. '{J ist auf [a, ß] streng monoton wachsend. Man nennt die Parametertransformation '{J dann orientiernngstreu. 2. '{J ist auf [a, ß] streng monoton fallend. Dann heißt '{J orientiernngsumkehrend. Ist eine C1-Parametertransformation, so ist '{J - 1 o '{J = id folgt mit der Kettenregel '{J '{J 1 (t) ::;6 0 für alle t E [o:, ß], denn aus ('{J- 1)' ('{J (t)). '{J 1 (t) = 1 . ist genau dann orientierungstreu, wenn '{J (t) > 0 für alle t und orientierungsumkehrend, falls '{J1 ( t) < 0 für alle t.

Nach dem Mittelwertsatz für differenzierbare Funktionen einer Veränderlichen gibt es deshalb ein (Ji E [0, 1], so daß f(z(i)) - f(z 0 - 1>) = Di f(y(i)Hi , wobei yO> = z(i-1) + (Ji ~i ei. Daraus folgt n f(x + ~) - f(x) = I i =1 Di f(y< 0 ) ~i . Setzt man ai : = Di f(x), so gilt n f(x + ~) = f(x) + I ai~i+ 'I'(~) i mit =1 n IP(n = I (Dif(y(i))- ai) ~i. ), woraus folgt m . d. i~ Corollar. Sei U C IRn offen und f: U -IR eine stetig partiell differenzierbare Funktion. Dann ist f stetig. Denn eine (total) differenzierbare Funktion ist stetig.

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Analysis 2: Differentialrechnung im Rn, Gewöhnliche Differentialgleichungen by Otto Forster


by Paul
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