By Carl Friedrich Gauß, Heinrich Simon

ISBN-10: 3662387409

ISBN-13: 9783662387405

ISBN-10: 3662396270

ISBN-13: 9783662396278

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Ist z eine negative ganze Zahl , so erhält die Function offenbar einen unendlich grossen Wert, sobald k hinreichend gross angenommen wird. ( 1+- 1+ - lc n(k 3) = c, k . ß 2 . I 3) 2 ) ( l+;j ( 1+ k1 ) ( 1 +k u. s. (4+ z) 33 Dritter Abschnitt. 20. Besondere Beachtung verdient der Grenzwert, gegen den für einen festen Wert von z die Function n (k, z) beständig convergirt, wenn k unendlich gross wird. ) z(l + z3) z(l - z4) 2(h+1)2+ 3(h + l)ä+ 4(h +1)4 + 5(h + 1)5 +· .. Wenn daher k aus dem Werte h in h + n übergeht, wird der Logarithmus von 0 (k, z) den Zuwachs erhalten: welcher, wie leicht zu beweisen, stets endlich bleibt, auch wenn n unendlich wird.

Sind, in dem Falle betrifft, wo dieselben unbegrenzt abnehmen, so wollen wir zuerst voraussetzen, A - a liege zwischen 0 und - 1, d. h. A + 1 - a sei positiv oder = 0. Es sei h eine positive ganze Zahl, und zwar eine beliebige im Falle, dass A + 1 - a positiv ist, dagegen so beschaffen, dass sie die Grösse h + m + A + B- b positiv macht, falls A + 1- a = 0. + (B-A(m+h-l))tl--l ... p(t - (m +h)) = tl-+ t + (a- m-h)tA+ (b - a (m + h))tA- l .. wo entweder A + 1-m- h - (a- m- h) positiv, oder wenn dies = 0 wird, wenigstens B-A(m+h-1)-(b-a(m+h)) positiv sein wird.

Ferner ist von selbst klar, dass die Summe der Reihe für x = 1 nicht endlich sein kann, wenn nicht die Coefficienten wenigstens von einem gewissen Gliede an unbegrenzt abnehmen, oder, um analytisch zu reden, wenn nicht der Coefficient des Gliedes x"' gleich 0 ist. Wir werden nun zeigen, und zwar denjenigen zu Gefallen, die die strengen Methoden der alten Geometer lieben, in aller Strenge, erstens, dass die Coefficienten (wenn die Reihe nicht etwa abbricht), unbegrenzt wachsen, falls cx + ß- i - 1 positiv ist; zweitens, dass die Coefficienten sich einer endlichen Grenze beständig nähern, falls a + ß - 1 - 1 = 0; drittens, dass die Coefficienten unbegrenzt abnehmen, falls a.

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Allgemeine Untersuchungen über die unendliche Reihe by Carl Friedrich Gauß, Heinrich Simon


by Thomas
4.2

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