By Daniel Plaumann

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X n ] ein Polynom in n Variablen, dann kann man beliebige Elemente f , . . , f n ∈ A in G einsetzen und erhält ein Element (∗) G( f , . . , f n ) = ∑ a i fi ⋯ f ni n ∈ A. Ist A eine k-Algebra und T eine Teilmenge von A, dann ist der Durchschnitt aller k-Teilalgebren von A, die T enthalten, wieder eine k-Algebra, die von T erzeugte k-Algebra. Eine k-Algebra heißt endlich erzeugt, wenn sie von einer endlichen Teilmenge erzeugt wird. 45. Die von T erzeugte k-Teilalgebra von A besteht genau aus allen Elementen der Form (∗) mit f , .

Es sei f ∈ k[x , . . , x n ], ohne Einschränkung f ≠ . Zunächst unterscheiden wir zwei Fälle: (i) Das Leitmonom LM( f ) ist durch eines der Monome LM(g ), . . , LM(gs ) teilbar. Ist j der kleinste Index mit LM(g j )∣ LM( f ), etwa LT( f ) = t ⋅ LT(g j ) für einen Term t, so setze ̃ f = f − tg j . Dann ist δ( ̃ f ) < δ( f ). (ii) Das Leitmonom LM( f ) ist durch keines der LM(g ), . . , LM(gs ) teilbar. Dann setzen wir ̃ f = f − LT( f ) und es gilt wieder δ( ̃ f ) < δ( f ). ̃ Ist die Aussage für f richtig, dann haben wir also eine Darstellung s ̃ f = ∑ q̃i g i + ̃ r i= mit Polynomen q̃i , ̃ r derart, dass die Eigenschaften (1) und (2) erfüllt sind.

Ordnen Sie die Terme der folgenden Polynome bezüglich lex, glex und grevlex: f = x + y + z + x  − z  + x  , g = x  y − x  yz  + x yz  − x y . 5. Betrachten Sie die totale Ordnung auf Z+n , die durch α<β ⇐⇒ α i+ = β i+ , . . , α n = β n , α i > β i für ein i ∈ {, . . , n} gegeben ist. Entscheiden Sie, ob es sich um eine Monomordnung handelt. 6. Gegeben seien die folgenden drei Polynome in k[x, y, z]: f = x  − x  y − x  z, g = x  − z, g = x y − . (a) Verwenden Sie den Divisionsalgorithmus bezüglich glex, um die folgenden Reste zu berechnen: (1) den Rest r von f bei Division durch (g , g ); (2) den Rest r von f bei Division durch (g , g ).

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Algebraische Geometrie by Daniel Plaumann

by Robert
4.2

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